Tanjant Yarım Açı Formülleri

Tanjant Yarım Açısı Formülleri

Tanjant yarım açısı formülleri, bir açının yarısının tanjantını, açının tam tanjantı ve kosinüsü cinsinden ifade eden trigonometrik eşitliklerdir. Bu formüller, trigonometrik hesaplamalarda ve geometrik problemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır.

Tanjant Yarım Açısı Formülleri

$$tan\frac{θ}{2}=\frac{sinθ}{1+cosθ}$$

$$tan\frac{θ}{2}=\frac{1-cosθ}{sinθ}$$

İspat

İlk formülü ispatlamak için, aşağıdaki eşitliği kullanabiliriz:

$$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$$

Bu eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarparsak, elde ederiz:

$$2tanθ=\frac{2sinθ}{cosθ}$$

Şimdi, 2tanθ’yi tan(2θ) olarak yeniden yazabiliriz:

$$tan(2θ)=\frac{2sinθ}{cosθ}$$

Bu eşitliğin her iki tarafını 2 ile bölersek, elde ederiz:

$$tan\frac{2θ}{2}=\frac{sinθ}{cosθ}$$

Ancak, tan(2θ/2) = tanθ’dir. Bu nedenle, elde ederiz:

$$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$$

Bu, tanjant yarım açısı formüllerinin ilkini ispatlar.

İkinci formülü ispatlamak için, aşağıdaki eşitliği kullanabiliriz:

$$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$$

Bu eşitliğin her iki tarafını 1 ile çarparsak, elde ederiz:

$$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\cdot1$$

Şimdi, 1’i 1+cosθ olarak yeniden yazabiliriz:

$$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\cdot(1+cosθ)$$

Bu eşitliğin her iki tarafını 1+cosθ ile bölersek, elde ederiz:

$$tanθ=\frac{sinθ}{1+cosθ}$$

Bu, tanjant yarım açısı formüllerinin ikincisini ispatlar.

Uygulamalar

Tanjant yarım açısı formülleri, trigonometrik hesaplamalarda ve geometrik problemlerin çözümünde sıklıkla kullanılır. İşte birkaç örnek:

Bir açının yarısının tanjantını bulmak için kullanılabilir.
Bir açının sinüsünü ve kosinüsünü bilerek, tanjantını bulmak için kullanılabilir.
Bir üçgenin kenar uzunluklarını bilerek, açılarını bulmak için kullanılabilir.
Bir dairenin yarıçapını ve bir kirişin uzunluğunu bilerek, kirişin açısını bulmak için kullanılabilir.

Faydalı Siteler ve Dosyalar