Kısmi Türev Örnekleri
Kısmi türev, bir fonksiyonun birden fazla bağımsız değişkenden birine göre türevini almaktır. Kısmi türev alma işlemi, fonksiyonun belirli bir bağımsız değişken sabitken diğer bağımsız değişkenler için türevini almak olarak da tanımlanabilir.
Kısmi türev alma işlemi, fonksiyonun eğimini veya hızını bulmak için kullanılabilir. Örneğin, bir yüzeyin eğimini bulmak için, yüzeyin yüksekliğini temsil eden fonksiyonun x ve y eksenlerine göre kısmi türevleri alınabilir.
Kısmi türev alma işlemi, fonksiyonun maksimum veya minimum değerini bulmak için de kullanılabilir. Örneğin, bir fonksiyonun x ekseninde maksimum değerini bulmak için, fonksiyonun x eksenine göre kısmi türevini sıfıra eşitleyerek ve x’i çözerek yapılabilir.
Kısmi Türev Alma Kuralları
Kısmi türev alma işlemi, fonksiyonun fonksiyonel biçimine göre farklı kurallara tabidir. Bu kurallar, aşağıdaki gibi özetlenebilir:
- Sabit katsayılar: Sabit katsayıların kısmi türevleri, katsayının kendisidir. Örneğin, f(x, y) = 3x + 2y fonksiyonunun x’e göre kısmi türevi, 3x ve y’e göre kısmi türevi ise 2y’dir.
- Lineer fonksiyonlar: Lineer fonksiyonların kısmi türevleri, fonksiyonun katsayılarının kısmi türevleridir. Örneğin, f(x, y) = ax + by fonksiyonunun x’e göre kısmi türevi, a ve y’e göre kısmi türevi ise b’dir.
- Diferansiyellenebilir fonksiyonlar: Diferansiyellenebilir fonksiyonların kısmi türevleri, fonksiyonun kendisiyle aynı şekilde hesaplanır. Örneğin, f(x, y) = x^2 + y^2 fonksiyonunun x’e göre kısmi türevi, 2x ve y’e göre kısmi türevi ise 0’dır.
Kısmi Türev Örnekleri
1. Örnek:
f(x, y) = x^2 + y^2 fonksiyonunun x ve y’e göre kısmi türevlerini hesaplayınız.
f(x, y) = x^2 + y^2
f_x = (2x) = 2x
f_y = (2y) = 2y
Çözüm:
f(x, y) = x^2 + y^2 fonksiyonu, lineer bir fonksiyondur. Bu nedenle, f_x = 2x ve f_y = 2y’dir.
2. Örnek:
f(x, y) = x^2 + y^3 fonksiyonunun x ve y’e göre kısmi türevlerini hesaplayınız.
f(x, y) = x^2 + y^3
f_x = (2x) = 2x
f_y = (3y^2) = 6y^2
Çözüm:
f(x, y) = x^2 + y^3 fonksiyonu, lineer bir fonksiyon değildir. Bu nedenle, f_x = 2x ve f_y = 6y^2’dir.
3. Örnek:
f(x, y) = e^(x^2 + y^2) fonksiyonunun x ve y’e göre kısmi türevlerini hesaplayınız.
f(x, y) = e^(x^2 + y^2)
f_x = (2xe^(x^2 + y^2)) = 2xe^(x^2 + y^2)
f_y = (2ye^(x^2 + y^2)) = 2ye^(x^2 + y^2)
Çözüm:
f(x, y) = e^(x^2 + y^2) fonksiyonu, diferensiyellenebilir bir fonksiyondur. Bu nedenle, f_x = 2xe^(x^2 + y^2) ve f_y = 2ye^(x^2 + y^2)’dir.
Uygulamalar
Kısmi türevler, birçok farklı uygulamada kullanılabilir. Örneğin, kısmi türevler, aşağıdaki gibi kullanılabilir:
- **Fonksiyonların eğimini veya hızınıkısm