Ardışık Faktöriyel Toplama Formülü

Ardıcıl Faktöriyel Toplama Formülü

Ardıcıl faktöriyel toplama formülü, ardışık faktöriyellerin toplamını hesaplamak için kullanılan bir formüldür. Formül şu şekildedir:

n! + (n-1)! + (n-2)! + ... + 2! + 1! = (n+1)! - 1

Burada, n bir pozitif tam sayıdır.

Formülün Türetilmesi

Formülü türetmek için, öncelikle faktöriyel kavramını tanımlayalım. Faktöriyel, bir sayının kendisinden 1’e kadar olan tüm pozitif tam sayılarla çarpılmasıyla elde edilen değerdir. Örneğin, 5’in faktöriyeli şu şekilde hesaplanır:

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Şimdi, ardışık faktöriyellerin toplamını hesaplamak için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:

İlk olarak, n’in faktöriyelini hesaplayalım:

n!

Ardından, n-1’in faktöriyelini hesaplayalım:

(n-1)!

Bu şekilde devam ederek, 2’nin faktöriyelini ve 1’in faktöriyelini hesaplayalım:

2!

1!

Son olarak, bu faktöriyelleri toplayalım:

n! + (n-1)! + (n-2)! + ... + 2! + 1!

Bu toplamın (n+1)’in faktöriyelinden 1 eksik olduğunu görebiliriz:

(n+1)! - 1

Bu nedenle, ardışık faktöriyel toplama formülü şu şekildedir:

n! + (n-1)! + (n-2)! + ... + 2! + 1! = (n+1)! - 1

Formülün Kullanımı

Ardıcıl faktöriyel toplama formülü, çeşitli matematiksel problemlerde kullanılır. Örneğin, bir dizinin toplamını hesaplamak, bir olasılık dağılımının ortalamasını hesaplamak ve bir kombinasyonun sayısını hesaplamak gibi problemlerde kullanılır.

Faydalı Siteler ve İlgili Dosyalar