Binom Katsayılar Toplamı Formülü

Binom Katsayılar Toplamı Formülü

Binom katsayılar, iki terimli bir ifadenin açılımında her bir terimin katsayısını belirleyen sayılardır. Binom katsayılar, kombinasyonlar teorisinde ve olasılık teorisinde sıklıkla kullanılırlar.

Binom katsayılar, aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Burada,

(n), toplam eleman sayısıdır.
(k), seçilen eleman sayısıdır.
(n!), (n) sayısının faktöriyeldir.
(k!), (k) sayısının faktöriyeldir.
((n-k)!), ((n-k)) sayısının faktöriyeldir.

Örneğin, (n=5) ve (k=2) için binom katsayısı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir:

$$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{120}{2\cdot6} = 10$$

Bu, 5 elemanlı bir kümeden 2 eleman seçmenin 10 farklı yolu olduğu anlamına gelir.

Binom Katsayılar Toplamı Formülü

Binom katsayılar toplamı formülü, bir binom ifadenin açılımında tüm terimlerin katsayılarının toplamını veren formüldür. Binom katsayılar toplamı formülü aşağıdaki şekildedir:

$$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n C(n, k) x^k$$

Burada,

((1+x)^n), binom ifadesidir.
(n), binom ifadesinin derecesidir.
(C(n, k)), binom katsayısıdır.
(x), değişkendir.

Örneğin, (n=3) için binom katsayılar toplamı formülü aşağıdaki şekildedir:

$$(1+x)^3 = \sum_{k=0}^3 C(3, k) x^k = C(3, 0) x^0 + C(3, 1) x^1 + C(3, 2) x^2 + C(3, 3) x^3$$

$$= 1 + 3x + 3x^2 + x^3$$

Bu, ((1+x)^3) ifadesinin açılımında tüm terimlerin katsayılarının toplamının 1 olduğunu göstermektedir.

Binom Katsayılar Toplamı Formülünün Kullanım Alanları

Binom katsayılar toplamı formülü, kombinasyonlar teorisinde ve olasılık teorisinde sıklıkla kullanılır. Örneğin, bir kümeden kaç farklı şekilde (k) eleman seçilebileceğini hesaplamak için binom katsayılar toplamı formülü kullanılabilir. Ayrıca, bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplamak için de binom katsayılar toplamı formülü kullanılabilir.

Faydalı Siteler ve İlgili Dosyalar