Birinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Kümesi Tek Elemanlıdır
Bir bilinmeyenli birinci dereceden denklemler, ax + b = 0 şeklindeki denklemlerdir. Burada a ve b reel sayılar ve a ≠ 0 dir.
Bu denklemleri çözmek için, x’i yalnız bırakmak gerekir. Bunun için, her iki taraftan b’yi çıkarırız.
ax + b – b = 0 – b
ax = -b
x = -b / a
Bu şekilde, denklemin tek bir çözümü bulunmuş olur. Bu çözüm, x = -b / a dir.
Grafik Yöntemi ile Çözüm
Birinci dereceden denklemlerin çözüm kümelerini grafik yöntemi ile de gösterebiliriz. Bu yöntemde, denklemin iki tarafına da a / b yazarız.
x = -b / a
x * a = -b
y = -b
Bu şekilde, denklemimiz bir doğru denklemi haline gelir. Bu doğrunun grafiğini çizdiğimizde, denklemin çözüm kümesi bu doğrunun üzerinde bulunan noktalardır.
Örnek
2x + 3 = 0
x = -3 / 2
Bu denklemin çözüm kümesi, x = -3 / 2 dir. Bu çözüm kümesini grafik yöntemi ile gösterelim.
2x + 3 = 0
x = -3 / 2
y = -3
Grafikte görüldüğü gibi, denklemimiz bir doğru denklemidir. Bu doğrunun grafiği, y = -3 doğrusudur. Bu doğrunun üzerinde bulunan tek bir nokta vardır. Bu nokta, denklemin çözüm kümesidir.
İki Bilinmeyenli Birinci Dereceden Denklemler
İki bilinmeyenli birinci dereceden denklemler, ax + by + c = 0 şeklindeki denklemlerdir. Burada a, b ve c reel sayılar ve a ≠ 0 dir.
Bu denklemleri çözmek için, x ve y’yi yalnız bırakmak gerekir. Bunun için, çeşitli yöntemler kullanılabilir.
Yok Etme Yöntemi
Bu yöntemde, denklemleri uygun sayılarla çarparak genişletilir ve aynı değişkenin katsayıları toplanarak veya çıkarılarak bilinmeyenlerden biri yok edilir.
Yerine Koyma Yöntemi
Bu yöntemde, öncelikle denklemlerden biri kullanılarak bilinmeyenlerden biri diğer bilinmeyene göre ifade edilir. Daha sonra, bu ifade diğer denklemde yerine konularak bilinmeyenin değeri bulunur.
Grafik Yöntemi
Bu yöntemde, denklemlerin grafikleri çizilir. Eğer doğrular kesişirse, denklemin tek bir çözümü vardır. Eğer doğrular paralel veya çakışık ise, denklemin çözümü yoktur.
Örnek
2x + 3y = 6
x – 2y = 4
Bu denklem sistemini çözmek için, yok etme yöntemini kullanalım.
2x + 3y = 6
(-2) * (x – 2y = 4)
-2x + 4y = -8
Toplarsak,
y = 2
x’i bulmak için, ilk denklemi kullanalım.
2x + 3 * 2 = 6
2x = 0
x = 0
Bu şekilde, denklem sisteminin çözümü x = 0, y = 2 olarak bulunur.
Birinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Kümesi Tek Elemanlıdır
Bir bilinmeyenli birinci dereceden denklemlerin çözüm kümesi her zaman tek elemanlıdır. Bu, grafik yöntemi ile de gösterilebilir. Bir bilinmeyenli birinci dereceden denklemlerin grafiği, bir doğrudur. Bu doğrunun üzerinde en fazla bir tane nokta vardır. Bu nokta, denklemin çözüm kümesidir.
İki bilinmeyenli birinci dereceden denklemlerin çözüm kümesi ise, denklemlerin grafiklerinin kesişim noktasına göre değişir. Eğer doğrular kesişirse, denklemin tek bir çözümü vardır. Eğer doğrular paralel veya çakışık ise, denklemin çözümü yoktur.
Sonuç
Birinci dereceden denklemlerin çözüm kümesi, denklemlerin derecesine göre değişir. Bir bilinmeyenli birinci dereceden denklemlerin çözüm kümesi her zaman tek elemanlıdır. İki bilinmeyenli birinci dereceden denklemlerin çözüm kümesi ise, denklem