Denklik Bağıntısı Örnekleri
Giriş
Denklik bağıntısı, matematiğin temel kavramlarından biridir. İki elemanın eşit olduğu duruma karşılık gelen bir bağıntı olarak tanımlanabilir. Denklik bağıntıları, kümeleri daha küçük ve daha yönetilebilir parçalara ayırmak için kullanılabilir. Bu parçalara denklik sınıfları denir.
Tanımlar
Küme: Elemanları birbirinden farklı olan ve bir araya toplanmış nesnelerin oluşturduğu topluluğa küme denir.
Bağıntı: İki kümenin elemanlarından oluşan ve bir çifte bir gerçek sayı atanabilen kurala bağıntı denir.
Denklik Bağıntısı: Bir küme üzerinde tanımlanan ve aşağıdaki üç özelliği sağlayan bağıntıya denklik bağıntısı denir:
- Yansıma: Her x elemanı için x ~ x.
- Simetri: x ~ y ise y ~ x.
- Geçişme: x ~ y ve y ~ z ise x ~ z.
Örnekler
Eşitlik Bağlantısı
En basit denklik bağıntısı, bir kümenin elemanlarını eşittir veya eşittir değildir şeklinde eşleyen eşitlik bağıntısıdır. Bu bağıntı, her küme üzerinde tanımlanabilir ve aşağıdaki özellikleri sağlar:
- Yansıma: x = x her x elemanı için doğrudur.
- Simetri: x = y ise y = x her x ve y elemanı için doğrudur.
- Geçişme: x = y ve y = z ise x = z her x, y ve z elemanı için doğrudur.
Eşitlik bağıntısı, kümenin elemanlarını tek bir denklik sınıfına ayırır. Bu sınıf, kümenin tüm elemanlarını içerir.
Sayılar Üzerinde Bağıntılar
Sayılar üzerinde tanımlanabilen birçok denklik bağıntısı vardır. Örneğin, aşağıdakiler denklik bağıntısıdır:
- Eşitlik bağıntısı: x = y
- Sayıların mutlak değerlerinin eşitliği bağıntısı: |x| = |y|
- Sayıların karelerinin eşitliği bağıntısı: x^2 = y^2
- Sayıların çarpımının eşitliği bağıntısı: xy = xz
Bu bağıntıların her biri, sayılar kümesini bir veya daha fazla denklik sınıfına ayırır.
İşaretleme Bağlantısı
Bir kümenin elemanlarını pozitif, negatif veya sıfır olarak eşleyen işaretleme bağıntısı da bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntı, aşağıdaki özellikleri sağlar:
- Yansıma: Her x elemanı için x’in işareti x’in işaretidir.
- Simetri: x’in işareti y’nin işareti ise y’nin işareti x’in işaretidir.
- Geçişme: x’in işareti y’nin işareti ve y’nin işareti z’nin işareti ise x’in işareti z’nin işaretidir.
İşaretleme bağıntısı, kümenin elemanlarını üç denklik sınıfına ayırır: pozitif sayılar, negatif sayılar ve sıfır.
İlişki Bağlantısı
İki kümenin elemanlarını ilişkili veya ilişkisiz şeklinde eşleyen ilişki bağıntısı da bir denklik bağıntısıdır. Bu bağıntı, aşağıdaki özellikleri sağlar:
- Yansıma: Her x elemanı, kendisiyle ilişkilidir.
- Simetri: x, y ile ilişkili ise y, x ile ilişkilidir.
- Geçişme: x, y ile ilişkili ve y, z ile ilişkili ise x, z ile ilişkilidir.
İlişki bağıntısı, iki kümenin elemanlarını iki denklik sınıfına ayırır: ilişkili elemanlar ve ilişkisiz elemanlar.
Diğer Örnekler
- A kümesinin elemanlarının eşitliğini veya eşitsizliğini eşleyen bağıntısı.
- B kümesinin elemanlarının bir küme C’nin elemanı olup olmadığını eşleyen bağıntısı.
- C kümesinin elemanlarının bir küme D’nin alt kümesi olup olmadığını eşleyen bağıntısı.
Bu bağıntıların her biri, ilgili kümeleri bir veya daha fazla denklik sınıfına ayırır.
Denklik Bağıntılarının Kullanım Alanları
Denklik bağıntıları, matematiğin birçok alanında kullanılır. Örneğin, aşağıdakilerde kullanılır:
- **Küme teorisinde, kümeleri sınıflandırmak için kullanılır.