Doğrusal Programlama Grafik Çözüm Örnekleri
Doğrusal programlama, karar verme problemlerini çözmek için kullanılan matematiksel bir tekniktir. Bu teknikte, bir veya daha fazla değişkenin değerleri, bir dizi kısıtlamayı karşılayacak şekilde belirlenir. Doğrusal programlama problemleri, iki değişkenli, üç değişkenli veya daha fazla değişkenli olabilir.
Doğrusal programlama problemlerinin çözümü için çeşitli teknikler kullanılabilir. Bu tekniklerden biri, grafik çözüm tekniğidir. Grafik çözüm tekniği, iki değişkenli doğrusal programlama problemlerinin çözümü için kullanılan basit ve etkili bir tekniktir.
Grafik çözüm tekniği ile doğrusal programlama probleminin çözümü şu adımlardan oluşur:
- Problemin kısıtları grafik olarak çizilir.
- Kısıtların çizdiği doğruların kesiştiği noktalar incelenir.
- Bu noktalardan, problemi çözen nokta seçilir.
Grafik çözüm tekniğinin uygulanması için şu kurallar geçerlidir:
- Bir değişkenli doğrusal programlama problemlerinin çözümü, doğrunun bir noktasıdır.
- İki değişkenli doğrusal programlama problemlerinin çözümü, doğruların kesiştiği noktalardır.
- Üç değişkenli doğrusal programlama problemlerinin çözümü, doğruların kesiştiği noktalar ve üçgenlerin köşe noktalarıdır.
Grafik çözüm tekniği ile çözülebilecek bazı doğrusal programlama problemleri şunlardır:
- Maksimum kar problemleri: Bir işletmenin elde ettiği kar, üretim miktarına bağlıdır. Bu problemde, işletmenin elde edeceği maksimum karın nasıl hesaplanacağı araştırılır.
- Minimum maliyet problemleri: Bir işletmenin üretim maliyeti, üretim miktarına bağlıdır. Bu problemde, işletmenin üretim maliyetini minimuma indirmenin nasıl yapılacağı araştırılır.
- Uygun kaynak dağılımı problemleri: Bir işletmenin sahip olduğu kaynaklar, farklı üretim faaliyetlerinde kullanılabilir. Bu problemde, işletmenin sahip olduğu kaynakları, farklı üretim faaliyetlerinde en uygun şekilde nasıl dağıtacağı araştırılır.
Grafik çözüm tekniği ile çözülebilecek doğrusal programlama problemlerinin örnekleri şunlardır:
Örnek 1: Bir işletme, iki farklı ürün üretmektedir. Bu ürünlerin üretim miktarları, aşağıdaki kısıtlarla sınırlıdır:
- İşletmenin sahip olduğu işgücü miktarı 40 saattir. Her bir ürünün üretimi, 2 saatlik işgücü gerektirmektedir.
- İşletmenin sahip olduğu makine sayısı 10’dur. Her bir ürünün üretimi, 1 makine gerektirmektedir.
- Üretilen her bir üründen elde edilen kar, 50 liradır.
Bu problemin grafik çözümü şu şekilde yapılır:
- İşgücü kısıtı: İşgücü kısıtı, 2X1 + X2 ≤ 40 eşitsizliği ile ifade edilebilir. Bu eşitsizliği eşitlik halinde ifade edersek, 2X1 + X2 = 40 olur. Bu eşitlik, X1 ve X2 değişkenlerinin bir doğru üzerinde yer aldığını gösterir. Bu doğrunun denklemi, 2X1 + X2 = 40’tır.
- Makine kısıtı: Makine kısıtı, 10X1 + 10X2 ≤ 100 eşitsizliği ile ifade edilebilir. Bu eşitsizliği eşitlik halinde ifade edersek, 10X1 + 10X2 = 100 olur. Bu eşitlik, X1 ve X2 değişkenlerinin bir doğru üzerinde yer aldığını gösterir. Bu doğrunun denklemi, 10X1 + 10X2 = 100’dür.
- Kazanç kısıtı: Kazanç kısıtı, 50X1 + 50X2 eşitliği ile ifade edilebilir. Bu eşitlik, X1 ve X2 değişkenlerinin bir doğru üzerinde yer aldığını gösterir. Bu doğrunun denklemi, 50X1 + 50X2 = 0’dır.
Bu üç doğrunun grafikleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir:
[Grafik]
Bu grafikte, üç doğrunun kesiştiği nokta, (20, 20) noktasıdır. Bu nokta, her iki kısıtlamayı da karşılayan tek noktadır. Bu nedenle, bu nokta problemin çözümüdür.
Bu çözüme göre, işletmenin üretmesi gereken ürün miktarları, 20’şer adettir. Bu üretim miktarında işletmenin elde edeceği kar, 50 * 20 + 50 * 20 = 2000 liradır.
**Ör