İTÜ Z-Mekaniği Ders Notları
Giriş
Z-mekaniği, sürekli sistemleri modellemek ve bunların davranışlarını tahmin etmek için kullanılan bir matematiksel araçtur. Sürekli sistemler, zamanda sürekli olarak değişen sistemlerdir, örneğin elektrik devreleri, mekanik sistemler ve akışkanlar. Z-mekaniği, bu sistemleri ayrık zamandaki örneklenmiş sinyaller olarak modelleyerek, sürekli sistemleri daha kolay ve verimli bir şekilde incelememizi sağlar.
Z-Dönüşümü
Z-mekaniğinin temel kavramı Z-dönüşümüdür. Z-dönüşümü, sürekli bir sinyalin ayrık zamandaki örneklenmiş sinyaline karşılık gelen bir matematiksel dönüşümdür. Z-dönüşümü, aşağıdaki denklemle tanımlanır:
X(z) = Z{x(t)} = ∫[0,∞) x(t) z^(-t) dt
burada:
- X(z), x(t) sinyalinin Z-dönüşümüdür
- x(t), sürekli sinyaldir
- z, kompleks bir sayıdır
Z-Düzlemi
Z-dönüşümü, x(t) sinyalinin Z-düzleminde bir fonksiyona karşılık gelir. Z-düzlemi, kompleks z sayı düzlemidir. Z-düzlemindeki noktalar, sinyalin frekans ve sönümleme özelliklerini temsil eder.
Z-Transfer Fonsiyonu
Z-mekaniğinde, sürekli sistemler Z-transfer fonsiyonları kullanılarak modellenir. Z-transfer fonsiyonu, sistemin giriş ve çıkış sinyallerinin Z-dönüşümleri arasındaki bir rasyonel fonksiyondur. Z-transfer fonsiyonu, aşağıdaki denklemle tanımlanır:
H(z) = X(z)/U(z)
burada:
- H(z), sistemin Z-transfer fonsiyonudur
- X(z), sistemin çıkış sinyalinin Z-dönüşümüdür
- U(z), sistemin giriş sinyalinin Z-dönüşümüdür
Z-Mekaniği Analizi
Z-mekaniği, sürekli sistemleri incelemek için çeşitli analitik teknikler sağlar. Bu teknikler arasında şunlar yer alır:
- Kök Yerleştirme: Sistemin kararlılığı ve geçiş yanıtı, Z-düzlemindeki kütük yerleri kullanılarak incelenebilir.
- Frekans Yanıtı: Sistemin frekans aralığındaki davranışı, frekans yanıtı grafiği kullanılarak incelenebilir.
- Geçiş Yanıtı: Sistemin bir birim basamak girişine verdiği yanıt, geçiş yanıtı grafiği kullanılarak incelenebilir.
Uygulamalar
Z-mekaniği, çeşitli alanlarda uygulamalara sahiptir, bunlar arasında şunlar yer alır:
- Kontrol Sistemleri: Sürekli kontrol sistemlerinin tasarlanması ve analizi
- Sinyal İşleme: Sinyal filtreleme, sıkıştırma ve gürültü giderme
- İletişime Sistemleri: Dijital iletişime sistemlerinin analizi ve tasarlanması
Faydalı Kaynaklar