Polinom Özet

Polinomlar

Polinomlar, matematikte x değişkenine göre düzenlenmiş ve x’in sıfırdan farklı bir değeri için sıfıra eşit olmayan ifadelerdir. Polinomlar, en basit haliyle sabit terimlerden oluşabilirler. Örneğin, 3, 2x ve 5x^2 polinomları sabit terimli polinomlardır. Polinomlar, daha karmaşık hallerde, sabit terimlerin yanı sıra x’in karesi, küpü gibi daha yüksek dereceli terimleri de içerebilirler. Örneğin, x^2 – 3x + 2 polinomu, x’in karesi, x’in birinci dereceden terimi ve sabit terimden oluşan bir polinomdur.

Polinomların Tanımı

Genel olarak, a_0, a_1, a_2, …, a_n reel katsayıları ve n doğal bir sayı olmak üzere,

P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... + a_nx^n

şeklindeki ifadelere x değişkenine göre düzenlenmiş reel katsayılı polinom (çok terimli) denir.

Bu ifadede,

  • a_0, polinomun sabit terimidir.
  • a_1, polinomun birinci dereceden terimidir.
  • a_2, polinomun ikinci dereceden terimidir.
  • …
  • a_n, polinomun n. dereceden terimidir.

Polinomların derecesi, x’in en yüksek kuvvetine göre belirlenir. Örneğin, yukarıdaki örnekte verilen polinomun derecesi 2’dir. Çünkü, x’in en yüksek kuvveti x^2’dir.

Polinomların Özellikleri

Polinomların bazı temel özellikleri şunlardır:

  • Polinomlar, x’in sıfırdan farklı bir değeri için sıfıra eşit olmayan ifadelerdir.
  • Polinomlar, sabit terimleri aynı olan polinomlar birbirine eşittir.
  • Polinomlar, dereceleri aynı olan polinomlar toplanabilir, çıkarılabilir, çarpılabilir ve bölünebilir.

Polinomlarda İşlemler

Polinomlarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri aşağıdaki gibi yapılır:

Toplama ve Çıkarma

İki polinomun toplamı ve çıkarılması, aynı dereceli terimlerin katsayıları toplanarak veya çıkarılarak yapılır. Örneğin,

P_1(x) = 2x^2 + 3x + 1
P_2(x) = x^2 - 2x + 5

polinomlarının toplamı,

P_1(x) + P_2(x) = (2 + 1)x^2 + (3 - 2)x + (1 + 5)
= 3x^2 + x + 6

şeklindedir.

Çarpma

İki polinomun çarpımı, her bir teriminin diğer polinomun tüm terimleri ile ayrı ayrı çarpılmasından elde edilen terimlerin toplamı olarak hesaplanır. Örneğin,

P_1(x) = 2x^2 + 3x + 1
P_2(x) = x^2 - 2x + 5

polinomlarının çarpımı,

P_1(x) \cdot P_2(x) = (2x^2 + 3x + 1)(x^2 - 2x + 5)
= 2x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 3x^3 - 6x^2 + 5x + 2x^2 - 4x + 5
= 2x^4 + x^3 + 2x^2 + x - 4x + 5

şeklindedir.

Bölme

Bir polinomun diğer polinoma bölümü, kalansız bölme işlemi olarak yapılır. Kalansız bölme işleminde, bölünen polinom, bölünen polinomun derecesinden küçük veya eşit dereceli bir polinoma bölünür. Bölme işleminin sonucunda, bölüm polinomu ve kalan polinomu elde edilir.

Polinomların Uygulamaları

Polinomlar, matematikte çok çeşitli uygulamalara sahiptir. Polinomlar,

  • Fonksiyonlar: Polinomlar, fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için kullanılır. Örneğin, y = x

Yayımlandı

kategorisi