Sin Yarım Açı Formülü

Sin Yarım Açısı Formülü

Sinüs yarım açı formülü, sinüs fonksiyonunun yarım açısının değerini bulmak için kullanılan bir formüldür. Bu formül, trigonometri ve cebirde yaygın olarak kullanılır.

Formül

$$sin\frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 – cos x}{2}}$$

Burada, x açının ölçüsüdür.

Çıkarım

Sinüs yarım açı formülü, sinüs fonksiyonunun çift açı formülünden türetilebilir. Sinüs fonksiyonunun çift açı formülü şöyledir:

$$sin 2x = 2 sin x cos x$$

Bu formülü ikiye bölersek, sinüs yarım açı formülünü elde ederiz:

$$sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2} sin 2x = \frac{1}{2} \cdot 2 sin x cos x = sin x cos x$$

Bu formülü daha da sadeleştirebiliriz. Cosinüs fonksiyonunun yarım açı formülünü kullanarak, cos x’in değerini şöyle yazabiliriz:

$$cos \frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + cos x}{2}}$$

Bu formülü sinüs yarım açı formülüne yerleştirirsek, şöyle bir sonuç elde ederiz:

$$sin \frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 – cos x}{2}} \cdot \pm\sqrt{\frac{1 + cos x}{2}}$$

Bu formülü daha da sadeleştirerek, sinüs yarım açı formülünün son halini elde ederiz:

$$sin \frac{x}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 – cos x}{2}}$$

Örnekler

$$sin 30° = sin \frac{60°}{2} = \sqrt{\frac{1 – cos 60°}{2}} = \sqrt{\frac{1 – \frac{1}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$sin 45° = sin \frac{90°}{2} = \sqrt{\frac{1 – cos 90°}{2}} = \sqrt{\frac{1 – 0}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$sin 60° = sin \frac{120°}{2} = \sqrt{\frac{1 – cos 120°}{2}} = \sqrt{\frac{1 – \left(-\frac{1}{2}\right)}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Uygulamalar

Sinüs yarım açı formülü, trigonometri ve cebirde yaygın olarak kullanılır. Bu formül, aşağıdaki gibi çeşitli problemleri çözmek için kullanılabilir:

Üçgenlerin çözümü
Trigonometrik denklemlerin çözümü
Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin çizimi
Trigonometrik özdeşliklerin kanıtlanması

Faydalı Siteler

İlgili Dosyalar