Sinüsün Yarım Açısı Formülü
Sinüsün yarım açısı formülü, sinüs fonksiyonunun yarım açısının değerini bulmak için kullanılan bir formüldür. Bu formül, trigonometri ve matematik alanlarında yaygın olarak kullanılır.
Formül
Sinüsün yarım açısı formülü şu şekildedir:
sin(θ/2) = ±√((1 - cos(θ))/2)
Burada, θ açının ölçüsüdür.
İspat
Sinüsün yarım açısı formülünü ispatlamak için, öncelikle sinüs fonksiyonunun tanımını kullanarak sin(θ/2)’yi şu şekilde yazabiliriz:
sin(θ/2) = y/r
Burada, y açının karşı kenarı ve r açının hipotenüsüdür.
Ardından, Pisagor teoremini kullanarak r’yi şu şekilde bulabiliriz:
r^2 = x^2 + y^2
Burada, x açının bitişik kenarıdır.
r’yi bulduktan sonra, sin(θ/2)’yi şu şekilde yazabiliriz:
sin(θ/2) = y/√(x^2 + y^2)
Ardından, y’yi şu şekilde yazabiliriz:
y = r sin(θ)
Bunu sin(θ/2)’ye yerleştirerek şu ifadeyi elde ederiz:
sin(θ/2) = r sin(θ)/√(x^2 + y^2)
Ardından, cos(θ)’yi şu şekilde yazabiliriz:
cos(θ) = x/r
Bunu sin(θ/2)’ye yerleştirerek şu ifadeyi elde ederiz:
sin(θ/2) = r sin(θ)/√(x^2 + r^2 sin^2(θ))
Ardından, Pisagor teoremini kullanarak şu ifadeyi elde ederiz:
sin(θ/2) = r sin(θ)/√(r^2 (1 - cos^2(θ)))
Ardından, r’yi şu şekilde yazabiliriz:
r = √(x^2 + y^2)
Bunu sin(θ/2)’ye yerleştirerek şu ifadeyi elde ederiz:
sin(θ/2) = √(x^2 + y^2) sin(θ)/√(x^2 + y^2 (1 - cos^2(θ)))
Ardından, pay ve paydada √(x^2 + y^2)’yi sadeleştirerek şu ifadeyi elde ederiz:
sin(θ/2) = sin(θ)/√(1 - cos^2(θ))
Ardından, sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 eşitliğini kullanarak şu ifadeyi elde ederiz:
sin(θ/2) = sin(θ)/√(sin^2(θ))
Ardından, sin(θ/2) = ±√((1 – cos(θ))/2) formülünü elde ederiz.
Örnekler
- sin(30°/2) = sin(15°) = √((1 – cos(30°))/2) = √((1 – √3/2)/2) = (√6 – √2)/4
- sin(45°/2) = sin(22.5°) = √((1 – cos(45°))/2) = √((1 – √2/2)/2) = (√2 – 1)/2
- sin(60°/2) = sin(30°) = √((1 – cos(60°))/2) = √((1 – 1/2)/2) = √3/4
Faydalı Siteler
- Sinüsün Yarım Açısı Formülü
- Sinüsün Yarım Açısı Formülü İspatı
- Sinüsün Yarım Açısı Formülü Örnekleri
İlgili Dosyalar