Türev Özeti
Türev, bir fonksiyonun değişkenine göre değişim oranını ölçen bir matematiksel işlemdir. Türev, bir fonksiyonun eğimini, eğriliğini ve diğer özelliklerini belirlemek için kullanılır. Türev, matematiğin birçok alanında, özellikle de fizik, mühendislik ve ekonomi gibi alanlarda kullanılır.
Türev Nasıl Hesaplanır?
Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun değişkenine göre değişim oranının limitidir. Yani,
$$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$
Burada,
- $$f(x)$$ türevi alınacak fonksiyondur.
- $$h$$ değişkenin artımıdır.
- $$f'(x)$$ türevin sonucudur.
Türev Kuralları
Türev hesaplamak için kullanılabilecek birçok kural vardır. Bunlardan bazıları şunlardır:
- Toplam Kuralı: İki fonksiyonun toplamının türevi, o iki fonksiyonun türevlerinin toplamıdır. Yani,
$$(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)$$
- Çarpım Kuralı: İki fonksiyonun çarpımının türevi, o iki fonksiyonun türevlerinin çarpımıdır. Yani,
$$(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
- Bölüm Kuralı: İki fonksiyonun bölümünün türevi, payın türevinin paydadan çıkarılması ve paydanın türevinin payla çarpılmasıdır. Yani,
$$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) – f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$
- Zincir Kuralı: Bir fonksiyonun başka bir fonksiyonun bileşimi olması durumunda, o fonksiyonun türevi, iç fonksiyonun türevinin dış fonksiyonun türeviyle çarpılmasıdır. Yani,
$$(f\circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x)$$
Türev Uygulamaları
Türev, matematiğin birçok alanında kullanılır. Bunlardan bazıları şunlardır:
- Eğim: Bir fonksiyonun eğimi, o fonksiyonun türevidir. Yani,
$$m = f'(x)$$
- Eğrilik: Bir fonksiyonun eğriliği, o fonksiyonun ikinci türevidir. Yani,
$$k = f”(x)$$
- Hız: Bir cismin hızı, o cismin yer değiştirme fonksiyonunun türevidir. Yani,
$$v = \frac{dx}{dt}$$
- İvme: Bir cismin ivmesi, o cismin hız fonksiyonunun türevidir. Yani,
$$a = \frac{dv}{dt}$$
Faydalı Siteler ve Dosyalar